完美数:数学宝库中的一颗璀璨明珠

2012-08-31 06:56 阅读 490 次 评论关闭

 

无论在外在的物质世界里,还是在内在的精神世界里,都不能没有数学。最早悟出万物背后都有数的法则在起作用的,是生活在公元前6世纪的古希腊数学家和哲学家毕达哥拉斯;而他及其学派无论在代数上还是几何上都有很多贡献。其中举世闻名的“完美数”(perfect number,又称“完全数”和“完满数”)就是他们首先发现的。

 

完美数优美而稀少,如同璀璨明珠

所谓完美数,就是“除其本身以外全部因数之和等于本身”的数。例如,前两个完美数分别是:6,28。毕达哥拉斯曾说:“6象征着完满的婚姻以及健康和美丽,因为它的部分是完整的,并且其和等于自身。”不过,有人认为或许印度人和希伯来人早就知道完美数的存在了。有些《圣经》注释家认为6和28是上帝创造世界时所用的基本数字;他们指出,创造世界花了6天,28天则是月亮绕地球一周的天数。这使得完美数充满了神秘的色彩,所以有些书籍称之为“上帝之数”。法国数学家和哲学家笛卡尔曾公开预言:“能找出完美数是不会多的,好比人类一样,要找一个完美人亦非易事。”可见这种数既优美又稀少。

由于完美数有许多有趣的性质和无与伦比的魅力,2500多年来一直吸引着众多的数学家和业余数学爱好者对它进行探究。迄今为止,人类仅发现47个完美数,而且都是偶完美数。至于偶完美数是否无穷和有没有奇完美数,至今没有定论;这已成为数学中的著名难题。

古希腊数学家欧几里得在名著《几何原本》中证明了素数有无穷多个,并论述完美数时提出:如果2^P-1是素数(其中指数P也是素数),则2^(P-1)(2^P-1)是完美数。瑞士数学家和物理学家欧拉证明所有的偶完美数都有这种形式。因此,人们只要找到2^P-1型素数,就可以发现偶完美数了。

数学界将2^P-1型素数称为“梅森素数”(Mersenne prime),因为法国数学家和法兰西科学院奠基人梅森在这方面的研究成果较为卓著。梅森素数貌似简单,但探究难度却极大。它不仅需要高深的理论和纯熟的技巧,而且还需要进行艰巨的计算。

1772年,有“数学英雄”美名的欧拉在双目失明的情况下,靠心算证明了2^31-1(即2147483647)是第8个梅森素数。这个具有10位的素数,堪称当时已知的最大素数。第8个偶完美数——2^30(2^31-1)也由此而来。欧拉的顽强毅力与解题技巧令人赞叹不已;法国大数学家拉普拉斯说的话,或许可以代表我们的心声:“读读欧拉,他是我们每一个人的老师。”

值得提出的是:在梅森素数的基础研究方面,法国数学家鲁卡斯和美国数学家雷默都做出了重要贡献;以他们命名的“鲁卡斯-雷默方法”是目前已知的检测梅森素数素性的最佳方法。此外,中国数学家和语言学家周海中给出了梅森素数分布的精确表达式,为人们寻找梅森素数提供了方便;这一研究成果被国际上命名为“周氏猜测”。

为了激励人们寻找梅森素数,设在美国的电子新领域基金会(EFF)曾向全世界宣布了为通过一个名为“因特网梅森素数大搜索”(GIMPS)项目来寻找梅森素数而设立的奖金。它规定向第一个找到超过1000万位数的个人或机构颁发10万美元。后面的奖金依次为:超过1亿位数,15万美元;超过10亿位数,25万美元。当然,绝大多数研究者参与该项目并不是为了金钱,而是出于兴趣、荣誉感和探索精神。

美国加州大学洛杉矶分校的计算机专家史密斯通过参加GIMPS项目,于2008年8月23日找到了迄今已知的最大梅森素数2^43112609-1;该数也是目前已知的最大素数。这个素数有12978189位;如果用普通字号(4号)将它连续打下来,其长度可超过50公里!人类也因此发现了迄今已知的最大偶完美数——2^43112608(2^43112609-1)。史密斯的成就被著名的《时代》杂志评为“2008年度50项最佳发明”之一。前不久,他获得了EFF颁布的10万美元大奖。

目前,世界上有180多个国家和地区超过25万人参加了GIMPS项目,并动用了近50万台计算机联网来寻找新的梅森素数。该项目采取网格计算方式,利用大量普通计算机的闲置计算资源来获得相当于超级计算机的运算能力。著名的《自然》杂志说:GIMPS项目不仅会进一步激发人们对梅森素数寻找的热情,而且会引起人们对网格技术应用研究的高度重视。

梅森素数在当代具有重大的理论意义和丰富的实用价值。它是发现已知最大偶完美数的唯一途径;其探究推动了“数学皇后”——数论的研究,促进了计算技术、密码技术、网格技术、程序设计技术的发展以及快速傅立叶变换的应用;另外它还可用来测试计算机硬件运算是否正确。由于梅森素数的探究需要多种学科和技术的支持,所以许多科学家认为:梅森素数的研究成果,在一定程度上反映了一个国家的科技水平。

可以在此预言:完美数这颗数学宝库中的璀璨明珠正以其独特魅力,吸引着更多的有志者去探寻和研究。(刘志坚写于纽约大学)

 

 

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